Everything of Study : rumus matematika

Tampilkan postingan dengan label rumus matematika. Tampilkan semua postingan

Senin, 02 Desember 2013

LINGKARAN

LINGKARAN

1. Pengertian Lingkaran dan Bidang Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik di sebuah bidang datar memiliki jarak yang sama dari suatu titik tetap pada bidang tersebut. Titik tetap pada bidang itu disebut dengan titik pusat lingkaran. Adapun jarak yang sama dari satu titik ke titik yang lain disebut dengan jari-jari lingkaran. Bidang lingkaran adalah daerah yang dibatasi dengan lingkaran. Tentu saja berbeda antara lingkaran dan bidang lingkaran. Dengan benang kita dapat mengkontekstualkan lingkaran sedangkan dengan tripleks atau karton dapat mengkontekstualkan bidang lingkaran.

Perhatikan Gambar dibawah ini!

2. Unsur-unsur Lingkaran ebuah lingkaran dengan titik pusat di-O

(perhatikan gambar!) mempunyai unsure-unsur sebagai berikut:

Titik O merupakan titik pusat
OA = OB = OC disebut dengan jari-jari lingkaran atau radius. Jari-jari lingkaran dilambangkan dengan r (radius)

Lingkaran yang berpusat di titik O dan memiliki jari-jari r maka dapat dituliskan dengan ( O,r )

Tali busur adalah garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Pada gambar, ruas garis AC,BC dan DE merupakan tali busur.

Tali busur yang melalui titik pusat lingkaran disebut dengan diameter atau garis tengah lingkaran. Pada gambar diatas ruas garis AC merupakan diameter lingkaran. Diameter lingkaran dilambangkan dengan ‘d’ hubungan antara jari-jari dengan diameter lingkaran adalah d = 2r

d. Apotema adalah ruas garis yang ditarik dari titik pusat lingkaran tegak lurus pada sebuah tali busur. Apotema juga bisa disebut dengan jarak titik pusat lingkaran dengan tali busur tertentu. Pada gambar ruas garis OF merupakan apotema.

e. Busur adalah bagian dari keliling lingkaran dan dilambangkan dengan garis lengkung. Busur yang kurang dari setengah keliling lingkaran disebut dengan busur kecil. Sedangkan busur yang lebih dari setengah lingkaran disebut dengan busur besar.

1. Bagian-bagian Lingkaran

Bagian Lingkaran dapat dibagi menjadi dua yaitu : juring atau sektor dan tembereng

a. Juring atau sektor

Adalah daerah didalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan busur lingkaran dihadapan sebuah sudut pusat yang dibentuk dua jari-jari tersebut. Juring dengan sudut pusat kurang dari 180⁰ dinamakan dengan juring kecil. Sedangkan juring dengan sudut pusat lebih dari 180⁰ dinamakan juring besar.

Ket:

Apabila tidak ada keterangan, yang dimaksud dengan juring AOB adalah Juring kecil AOB

b. Tembereng

Adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busurnya. Tembereng dengan sudut pusat kurang dari 180⁰ maka disebut dengan tembereng kecil dan tembereng dengan sudut pusat lebih dari 180⁰ disebut dengan tembereng besar.

Sabtu, 30 November 2013

Teorema pytagoras

Sobat pasti tidak asing lagi dengan rumus a² + b²= c². Itu adalah rumus dari teorema pythagoras. Kurang lebih 2500 tahun yang lalu seorang filsuf yunani bernama Pythagoras menemukan fakta menarik tentang segitiga. Beliau menyatakan dalam sebuah segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90o), kuadrat sisi miringnya akan sama dengan jumlah kuadrat dari 2 sisi yang lain. Mari sobat hitung simak gambar berikut.

Jika kita punya sebuah segitiga siku-siku dengan sisi a,b, dan c

Akan berlaku

a² + b² = c²

dalam teorema yang dikemukakan oleh Pythagoras, sisi c atau sisi miring disebut dengan hipotenusa

Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi dari panjang sisi a + luasan persegi dari panjang sisi b = luasan panjang dari sisi c. Luasan ini akan kita gunakan untuk membuktikan rumus teorema Pythagoras, simak gambar berikut

dengan melihat gambar di atas maka

Pembuktian Toerema Pythagoras
Banyak cara yang bisa digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema ini. Sobat bisa praktek langsung dengan alat atau menggunakan coret-coretan di kertas. Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan menggunakan luasan segitiga dan luasan persegi. Jika sobat punya segitiga siku-siku, cobalah menyusunnya membentuk kotak seperti di bawah ini.

Luas Persegi Besar = Luas Persegi
putih Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)²= c²+ 2.a.b
a²+ 2ab + b²= c²+ 2ab

a²+b²= c²

Pembuktian teorema Pythagoras lainnya yang bisa sobat lakukan adalah menggunakan tegel lantai, jika lantai rumah ada tegel atau ubinya, coba sobat buat segitiga alas 4 ubin dan tinggi 4 ubin

Coba sobat ukur panjang sisi miring dari segitiga di ubin tersebut (garis warna merah). Jika pengukuran sobat benar maka akan di dapat panjang sisi miring adalah 5 kali panjang ubin.

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

RINGKASAN MATERI

A. Pengertian Faktorisasi

Faktorisasi aljabar adalah mengubah penjumlahan aljabar menjadi perkalian faktor-faktornya.

Contoh :

Karena 8 = 1 x 8, atau 8 = 2 x 4, maka 1, 2, 4 dan 8 adalah faktor-faktor dari 8

B. Bentuk Distributif

ab + ac = a(b + c)

ab – ac = a(b – c), dengan a adalah faktor suku aljabar yang sama.

Contoh :

15p² + 9p = 3p(5p + 3)

C. Bentuk Selisih Dua Kuadrat

a² – b² = (a + b)(a – b)

Contoh :

16m² – 9 = (4m + 3)(4m – 3)

D. Bentuk Kuadrat Sempurna

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

Contoh :

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

x² – 16x + 64 = (x – 8)²

E. Bentuk ax² + bx +c, dengan a = 1

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

dengan syarat : pq = c dan p + q = b

Contoh :

x² + 8x + 12 =(x + 2)(x + 6)

F. Bentuk ax² + bx +c, dengan a ≠ 1

dengan syarat : pq = ac dan p + q = b

G. Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Contoh :

Cara : Bentuk aljabar difaktorkan dan faktor yang sama di hilangkan

Barisan Dan Deret

BARISAN ARITMATIKA

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂- U₁ = U₃- U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U₁, U₂, U₃ ............., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1) dst.
S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^{^n-1}
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^{^n-1} ® fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(r^ⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-r^ⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
U_n> U_n-1
Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
U_n < U_n-1

Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga    S_{_¥} = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar²+ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M₀, M₁, M₂, ............., M_n
M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀
M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀
.
.
.
.
M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M_ⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M₀, M₁, M₂, .........., M_n
M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀
M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀.
.
.
Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀
Keterangan :
M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Jumat, 15 November 2013

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

Rumus Web mengumpulkan materi Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika ini untuk anak SMA demi UAN SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari

1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga

Permutasi k unsur dari n unsur

adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis

atau

.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
2)Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk

Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
2) Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

3)Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

Catatan :

dibaca “ Kejadian A atau B dan

dibaca “Kejadian A dan B”
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku

Jika

. Sehingga

Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika

adalah peluang terjadinya A dan B, maka

Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :

5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Kamis, 14 November 2013

Rumus Praktis Persamaan Garis Lurus

Buat yang SMP, terutama yang mau menghadapi UN, kali ini penulis akan memberikan Tips praktis memahami soal Persamaan Garis lurus. Ada beberapa jenis soal persamaan garis lurus yang perlu kita kuasai. Di antaranya sebagai berikut:
1. Diketahui Gradien, dan titik
Jika diketahui gradien $m$ dan melalui titik $x_1,y_1$ , kita bisa menggunakan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$
2. Diketahui dua titik
Jika persamaan garis melalui titik $(x_1 ,y_1 )$ dan $(x_2 ,y_2 )$ , kita bisa menggunakan rumus $\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}$
3. Diketahui Garis dan Titik
Jika persamaan garis $g$ sejajar / tegak lurus dengan garis $h:\quad ax + by + c = 0$ , dan melalui titik $(x_1 ,y_1 )$ , maka
(i) $m_h = - \frac{a}{b}$
(ii) Jika sejajar maka $m_g = m_h = - \frac{a}{b}$
Jika tegak lurus maka $m_g \cdot m_h = - 1$ atau $m_g = - \frac{1}{{m_h }} = \frac{b}{a}$
(iii) Melalui titik $(x_1 ,y_1 )$ , berarti $y - y_1 = m_g (x - x_1 )$

Kamis, 07 November 2013

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA BANGUN RUANG

Ilmu matematika tidak lepas dari rumus-rumus bangun ruang seperti kubus, balok, tabung, kerucut, limas, dan bola. Artikel kali ini saya menulis tentang rumus bangun ruang yang ada di dalam ilmu matematika seperti rumus kubus, rumus tabung, rumus kerucut, rumus limas untuk mengetahui ataupun mengingat kembali luas dan volume masing-masing bangun ruang.

Bangun ruang berbeda dengan bangun datar dalam menentukan rumusnya , yaitu tergantung dari bentuknya bangun masing-masing. Secara umum bentuk dari bangun ruang adalah 3 dimensi yang mempunyai isi berbeda dengan bangun datar yang hanya 2 dimensi.

1. KUBUS

Terdapat 6 (enam) buah sisi yang berbentuk persegi dengan masing-masing luasnya sama.
Terdapat 12 (dua belas) rusuk dengan panjang yang sama.
Semua sudut bernilai 90 derajat atau siku-siku.

Rumus:

Luas Permukaan Kubus = 6 x rusuk x rusuk
Luas salah satu sisi = rusuk x rusuk
Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk ( rusuk³)
Keliling Kubus = 12 x rusuk

2. BALOK

Rumus:

Diagonal Ruang = Akar dari (p kuadrat + l kuadrat + t kuadrat)
Luas Permukaan Balok = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt)}
Volume Balok = p x l x t (sama dengan kubus, tetapi semua rusuk kubus sama panjang).
Keliling Balok = 4 x (p + l + t)

3. BOLA

Rumus:

Volume Bola = 4/3 x π x jari-jari x jari-jari x jari-jari
Luas Bola = 4 x π x jari-jari x jari-jari, atau
4 x π x r²
π = 3,14 atau 22/7

4. TABUNG/SILINDER

Rumus:

Luas = luas alas + luas tutup + luas selimut, atau
( 2 x π x r x r) + π x d x t)
Volume = luas alas x tinggi, atau
luas lingkaran x t

5. KERUCUT

Rumus:

Luas = luas alas + luas selimut
Volume = 1/3 x π x r x r x t

6. LIMAS

Rumus:

Luas = luas alas + jumlah luas sisi tegak
Volume = 1/3 luas alas tinggi sisi

Semoga Bermanfaat ^_^

Everything of Study

Senin, 02 Desember 2013

LINGKARAN

Sabtu, 30 November 2013

Teorema pytagoras

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

Barisan Dan Deret

Jumat, 15 November 2013

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

Kamis, 14 November 2013

Rumus Praktis Persamaan Garis Lurus

Rumus Praktis Persamaan Garis Lurus

Kamis, 07 November 2013

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA BANGUN RUANG

CONTACT YM

CONTACT YM